一.正弦量的时域表示

正弦量在时域常用两种方式表示。一种是以波形的形式表示，如图5.4所示，其中，分别为正弦量，的最大值；T为周期，即正弦量变化一个循环所经历的时间，单位为秒。正弦量每秒变化的循环个数称为频率，用表示，单位为赫兹。显然有

　　　（5.1）

图5.4正弦量波形表示

正弦量时域的另一种表示是用正弦函数表达式或与余弦函数表达式。本书采用余弦函数表达式，但仍称为正弦函数或正弦量。例如正弦电压、正弦电流可分别表示为

　　　（5.2）

式中称为角频率，它表征正弦量变化的快慢，单位为弧度/秒，且有

（5.3）　　　

和分别表示和的初相位。

和表示了正弦量在任一时刻的值，称为瞬时值。瞬时值均用小写字母表示，如，，有时为了简便，也直接写成，，不言而喻，这均指随时间t变化的瞬时表示。

可见，可以用最大值、角频率（或频率、周期）和初相位来描述一个正弦量的瞬时值随时间变化的全貌，因此，将这三个量称为正弦量的三要素。

二.正弦量的相位差

设有两个同频率的正弦量，例如一个是电压，一个是电流，如式（5.2）所示，则定义它们两者的相位差为

　　　（5.4）

可见两个同频率的正弦量的相位差等于它们初相位之差，且为一常数，与时间变量t无关。采用主值范围内的度或弧度为单位。

为了比较同频率的各个正弦量之间的相互关系，通常可任意选择其中一个正弦量，令其初相位为零，此正弦量称为参考正弦量。一旦选定参考正弦量，则其余正弦量的相位关系都以参考正弦量为准，具有一定的初相位。在同一电路中，参考正弦量的选择是任意的，但只能选一个。

相位差的物理意义是表示两个同频率正弦量随时间变化“步调”上的先后，当相位差时，则称在相位上超前于，或滞后于一个角度；若，则滞后一个角度，或超前于一个角度；若，则称与同相位；若，则称与在相位上相互正交；若，则称与反相位。

应当指出，只有同频率的正弦量在任意时刻的相位差是恒定的，而不同频率正弦量的相位差是随时间变化的，因而是没有意义的。

例5.2已知两个同频率的正弦电压

求两个正弦量的相位差并说明其相位关系。

解欲求两个同频率正弦量的相位差，必须将它们用同一种函数表示，故将写为

即，故得

这表明超前于，或这滞后于，并且和是正交的。

三.正弦量的有效值

由于正弦量是时间变量的函数，其瞬时值时随时间变化的，所以不论是测量还是计算都不方便。为此对于此类随时间按周期变化的量需引入有效值的物理量。有效值用大写字母表示。

设电流是一个周期变化的电流，则其有效值定义为

　　　（5.5）

即有效值等于周期电流在一个周期内的方均根值。它的物理意义是指在同一电阻R中先后通以直流电流I和周期电流，若在周期电流的一个周期T时间内，两者产生的热量相等，即

则得式（5.5）。换言之，周期电流的有效值是与它热效应相等的直流电流的值。说明：

（1）有效值需用大写字母表示，且有效值恒大于等于零。

（2）工程中使用的交流电器设备铭牌上标出的额定电压、电流的数值，交流电压表，电流表表面上标出的数字都是有效值。

对于正弦电流，代入式（5.5）得

　　　（5.6）

同理，正弦电压的有效值为

　　　（5.7）

可见正弦量的有效值等于其最大值除以。

引入有效值的物理量后，正弦电流i又可表示为

　　　（5.8）

例5-3已知式（5.8）正弦电流在时，其瞬时值为8.66A，初相位，经过后电流值出现第一次下降为O的值。求的有效值I，角频率，频率f和周期t。

解因，当时，

故有效值

即

又

即

求得

故

四.正弦量的相量表示（频域表示）

在线性定常电路中，如果全部激励都是同一频率的正弦量，则电路中的全部稳态响应也都是同一频率的正弦量，这意味着所求稳态响应的频率为已知量，不必再考虑。只要把正弦响应的其它两个要素，即最大值（或有效值）和初相位求出，则响应正弦量便完全确定。根据这一特点，可用一个复数来反映正弦量的幅值和初相位。这一复数称为正弦量的相量表示，简称为相量。例如正弦电流

用相量表示记为

或　　　（5.9）

同理对于

有

或　　　（5.10）

式中符号上加小黑点，是表示此复数专指正弦量而言，有别于其它复数。因此相量与正弦量之间存在一一对应关系。一个正弦量可以用有效值相量表示，也可以用最大值相量表示。

相量既然是复数，则可以在复平面上用有向线段表示。在复平面上相量的图示称为相量图。例如式（5.9）、式（5.10）的相量，表示在复平面上的相量如图5.5所示。可见，相量图不仅一目了然地表明了和的有效值的大小和初相位，还显示了和之间的相位关系。图上很直观地显示出超前于为角度，或滞后于为角度。

几点说明：

（1）相量用上面带点的大写字母表示。

（2）相量只用于表示正弦量（它包含了其对应正弦量的振幅（或有效值）和初相位两个要素），而不等于正弦量，即。

（3）代表正弦量的相量为一个复数，一般写为极坐标形式和指数形式，如。也可以写成代数形式或三角形式，如。

例5.4已知同频率电流为

试写出的相量表示式，画出相量图，并求。

图5.5相量图图5.6

解：的相量为。相量如图5.6所示。因为同频率正弦量，故其和仍为一同频率正弦量，设，其相量。则

故

例5.5已知角频率为的正弦电压的相量为。试写出其时域表示式。

解：

故

五.正弦量的相量运算

在电路分析中，常常遇到正弦量的加、减运算和微分、积分运算，如果用与正弦量相对应的相量进行运算将比较简单。

例5.6如果有两个同频率的正弦电压分别为

求和。

解：其所对应的相量分别为

而相量的和与差是复数加、减运算。可以求得

根据以上相量，可直接写出